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In dieser Arbeit werden neuartige methodische Erweiterungen der Lattice-Boltzmann-Methode (LBM) entwickelt, die effizientere Simulationen inkompressibler Wirbelströmungen ermöglichen. Diese Erweiterungen beheben zwei Hauptprobleme der Standard-LBM: ihre Instabilität in unteraufgelösten turbulenten Simulationen und ihre Beschränkung auf reguläre Rechengitter. Dazu wird zunächst eine Pseudo-Entropische Stabilisierung (PES) entwickelt. Diese kombiniert Ansätze der Multiple-Relaxation-Time (MRT)-Modelle und der Entropischen LBM zu einem expliziten, lokalen und flexiblen Stabilisierungsoperator. Diese Modifikation des Kollisionsschritts erlaubt selbst auf stark unteraufgelösten Gittern stabile und qualitativ korrekte Simulationen. Zur Erweiterung der LBM auf irreguläre Rechengitter wird zunächst eine moderne Discontinuous-Galerkin-LBM untersucht und um stabilere Zeitintegratoren ergänzt. Diese Studie demonstriert die drastischen Schwächen existierender LBMAnsätze auf irregulären Gittern. Basierend auf den gewonnenen Erkenntnissen gelingt die Formulierung einer neuartigen Semi-Lagrangeschen LBM (SLLBM). Diese ermöglicht in einzigartigerWeise sowohl die Verwendung irregulärer Gitter und großer Zeitschritte als auch eine hohe räumliche Konvergenzordnung. Anhand von Beispielsimulationen wird demonstriert, wieso dieser Ansatz anderen aktuellen Off-Lattice-Boltzmann-Methoden (OLBMs) in Effizienz und Genauigkeit überlegen ist. Weitere neuartige Aspekte dieser Arbeit sind die Entwicklung eines modularen Off-Lattice-Boltzmann-Codes und die Erweiterung der LBM um implizite Mehrschrittverfahren, mit denen eine Erhöhung der zeitlichen Konvergenzordnung gelingt.
In dieser Arbeit wird eine kompressible Semi-Lagrangesche Lattice-Boltzmann-Methode neu entwickelt und erprobt. Die Lattice-Boltzmann-Methode ist ein Verfahren zur numerischen Strömungssimulation, das auf einer Modellierung von Partikeldichten und deren Interaktion untereinander basiert. In ihrer Ursprungsform ist die Methode jedoch auf schwach kompressible Strömungen mit niedriger Machzahl beschränkt. Wesentliche Nachteile der bisherigen Versuche zur Erweiterung auf supersonische Strömungen sind entweder mangelhafte Stabilität der Verfahren, unpraktikabel große Geschwindigkeitssätze oder die Beschränktheit auf kleine Zeitschrittweiten. Als Alternative zu bisherigen Ansätzen wird in dieser Arbeit ein Semi-Lagrangescher Strömungsschritt eingesetzt. Semi-Lagrangesche Verfahren entkoppeln mittels Interpolation die Orts-, Zeit- und Geschwindigkeitsdiskretisierung der ursprünglichen Lattice-Boltzmann-Methode. Nach der Einleitung wird im zweiten und dritten Kapitel dieser Arbeit zunächst auf die Grundlagen und Prinzipien der Lattice-Boltzmann-Methode eingegangen sowie bisherige Ansätze zur Simulation kompressibler Strömungen aufgeführt. Im Anschluss wird die kompressible Semi-Lagrangesche Lattice-Boltzmann-Methode entwickelt und beschrieben. Die Erweiterung erfolgt im Wesentlichen durch die Verknüpfung der Methode mit geeigneten Gleichgewichtsfunktionen und Geschwindigkeitssätzen. Im vierten Kapitel der Arbeit werden neue Kubatur-basierte Geschwindigkeitssätze entwickelt und getestet, darunter ein D3Q45-Geschwindigkeitssatz zur Berechnung kompressibler Strömungen, der den Rechenaufwand gegenüber konventionellen Geschwindigkeitsdiskretisierungen erheblich verringert. Im fünften Kapitel der Arbeit werden zur Validierung Simulationen von eindimensionalen Stoßrohren, zweidimensionalen Riemann-Problemen und Stoß-Wirbel-Interaktionen durchgeführt. Im Anschluss zeigen Simulationen von dreidimensionalen, kompressiblen Taylor-Green-Wirbeln sowie von wandgebundenen Testfällen die Vorteile der Methode für kompressible Strömungssimulationen. Zu diesem Zweck werden die Überschallströmung um ein zweidimensionales NACA-0012-Profil und um eine dreidimensionale Kugel sowie eine supersonische Kanalströmung untersucht. Dem Simulationsteil folgt eine umfangreiche Diskussion der Semi-Lagrangeschen Lattice-Boltzmann-Methode im Vergleich zu anderen Methoden. Die Vorteile der Methode, wie vergleichsweise große Zeitschrittweiten, körperangepasste Netze und die Stabilität der Methode, werden hier herausgearbeitet.
Pseudopotential (PP)-basierte Lattice-Boltzmann-Methoden werden zunehmend für die Simulation von Mehrphasenströmungen eingesetzt. Da sie auf einem phänomenologischen Ansatz basieren, ist ihr Einsatz mit einem hohen Modellierungsaufwand verbunden. Zudem entstehen an den Phasengrenzen sogenannte Scheingeschwindigkeiten, welche Genauigkeit und numerische Stabilität beeinträchtigen. Daher werden PP-Modelle in dieser Arbeit um drei neue Aspekte erweitert. Erstens wird gezeigt, dass bei der Modellierung unterschiedlicher Kontaktwinkel mit gängigen Methoden in Kombination mit verbesserten Kräfteschemata Scheintröpfchen entstehen. Diese werden durch einen neuartigen Ansatz eliminiert, der auf zusätzlichen Randbedingungen für alle Wechselwirkungskräfte basiert. Diese Technik verhindert nicht nur das Auftreten der Scheintröpfchen, sondern erhöht auch die Stabilität in wandgebundenen Strömungen. Zweitens wird ein neuartiges Verfahren zur Reduktion von Scheingeschwindigkeiten eingeführt. Dabei wird die Diskretisierung der Interaktionskräfte erweitert und die zusätzlichen, freien Koeffizienten in Simulationen statischer Tropfen numerisch optimiert. Die resultierende Diskretisierung wurde in Simulationen stationärer und dynamischer Testfälle validiert, wobei Scheingeschwindigkeiten deutlich reduziert werden konnten. Drittens und letztens wurden die Diffusionseigenschaften in Mehrstoffsystemen detailliert untersucht, wobei eine kritische Abhängigkeit zwischen den makroskopischen Diffusionskoeffizienten und dem Kräfteschema aufgezeigt wird. Diese Analyse bildet die Grundlage für den Vergleich und die zukünftige Entwicklung neuer Potentialfunktionen (für Mehrstoffsysteme) und reduziert den Modellierungsaufwand.