519 Wahrscheinlichkeiten, angewandte Mathematik
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Statistische Fragestellungen finden sich in den verschiedensten alltäglichen Lebensbereichen. Ohne Grundlagen der Deskriptiven Statistik ist das Verständnis technischer, sozialer oder naturwissenschaftlicher Zusammenhänge kaum denkbar. Dieses Buch verbindet hohe analytische Tiefe statistischer Fragestellungen mit großer Anschaulichkeit.
We derive rates of convergence for limit theorems that reveal the intricate structure of the phase transitions in a mean-field version of the Blume-Emery-Griffith model. The theorems consist of scaling limits for the total spin. The model depends on the inverse temperature β and the interaction strength K. The rates of convergence results are obtained as (β,K) converges along appropriate sequences (βn,Kn) to points belonging to various subsets of the phase diagram which include a curve of second-order points and a tricritical point. We apply Stein's method for normal and non-normal approximation avoiding the use of transforms and supplying bounds, such as those of Berry-Esseen quality, on approximation error. We observe an additional phase transition phenomenon in the sense that depending on how fast Kn and βn are converging to points in various subsets of the phase diagram, different rates of convergences to one and the same limiting distribution occur.
We consider the Hopfield model with n neurons and an increasing number p=p(n) of randomly chosen patterns and use Stein's method to obtain rates of convergence for the central limit theorem of overlap parameters, which holds for every fixed choice of the overlap parameter for almost all realisations of the random patterns.
Von Fluiden durchströmte Rohr- und Kanalnetzwerke spielen in vielen technischen Anwendungen eine zentrale Rolle. Die beschreibenden hyperbolischen Modellgleichungen basieren auf Erhaltungsgesetzen von Masse, Impuls und Energie. Dazu können Konvektions-Diffusions-Reaktionsgleichungen kommen, falls die Fluide Inhaltsstoffe transportieren und deren chemisch-biologische Reaktionen betrachtet werden. Für die verschiedenen Modellgleichungen wird ein einheitlicher numerischer Lösungsansatz vorgeschlagen. Die Ortsdiskretisierung erfolgt mit dem Kurganov-Levi Verfahren. Damit können Stoßwellen aufgelöst werden, ohne auf die Eigenstruktur der hyperbolischen Systeme zurück zu greifen. Je nach Anwendungsgebiet können dann unterschiedliche Verfahren zur Lösung der entstehenden Systeme gewöhnlicher oder differential-algebraischer Gleichungssysteme eingesetzt werden. Anhand von Testproblemen mit unstetigem Lösungsverlauf wird die Eignung der gewählten Diskretisierungsansätze demonstriert.